Объем пирамиды. Пирамида. Подробная теория Как найти объем правильной треугольной

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой .Еще такую пирамиду называют тетраэдром.

Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые выводятся из составляющих ее фигур:

• Все стороны основания равны между собой, потому что оно представлено правильным треугольником;
• Все ребра пирамиды также равны между собой;
• Т.к. каждая грань образует равнобедренный треугольник, в котором ребра равны и основания равны, то можно сказать, что площадь каждой грани одинакова;
• Все двугранные углы при основании равны.

Рассчитывается, как сумма площадей основания и боковой развертки. Также ее можно найти, если рассчитать площадь одной из боковых граней и основания. Формула объема треугольной пирамиды также выводится из свойств треугольников, из которых она состоит:

Площадь основания рассчитывается из формулы :

Рассмотрим пример расчета объема треугольной пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида. Сторона основания равна a = 2 см, а высота равна h = 2√3. Найдите объем заданного многогранника.
Для начала найдем площадь основания. Для этого подставим известные данные в приведенную выше формулу:

Теперь используем найденное значение для расчета объема треугольной пирамиды:

Для расчета площади треугольной пирамиды можно также использовать сокращенную формулу. В ней совмещаются площадь основания и высота, а читается такая формула как треть произведения площади основания на высоту пирамиды:

Используя эту формулу, важно строго следить за подсчетами и сокращениями. Одна маленькая ошибка может привести к неверному результату. В целом, найти объем правильной треугольной пирамиды очень просто.

Определение пирамиды

Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.

Онлайн-калькулятор

У пирамиды есть ребра . Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань - это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой . Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.

Типы пирамид

Различают следующие типы пирамид.

1. Прямоугольная - у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
2. Правильная - ее основание - какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
3. Тетраэдр - пирамида, у которой в основании лежит треугольник.

Формулы объема пирамиды

Объем пирамиды находится несколькими способами.

По площади основания и высоте пирамиды

Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.

Объем пирамиды по площади основания и высоте

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h V = 3 1 ​ ⋅ S осн ​ ⋅ h

S осн S_{\text{осн}} S осн ​ - площадь основания пирамиды;
h h h - высота данной пирамиды.

Задача 1

Площадь основания пирамиды равна 100 см 2 100\text{ см}^2 1 0 0 см 2 , а высота ее равна 30 см 30\text{ см} 3 0 см . Найдите объем тела.

Решение

S осн = 100 S_{\text{осн}}=100 S осн ​ = 1 0 0
h = 30 h=30 h = 3 0

Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 30=1000\text{ см}^3 V = 3 1 ​ ⋅ S осн ​ ⋅ h = 3 1 ​ ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 см 3

Ответ

1000 см 3 . 1000\text{ см}^3. 1 0 0 0 см 3 .

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.

Объем правильной треугольной пирамиды

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}} V = 4 3 ​ h ⋅ a 2 ​

H h h - высота пирамиды;
a a a

Задача 2

Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см 5\text{ см} 5 см , а высота пирамиды равна – 19 см 19\text{ см} 1 9 см .

Решение

A = 5 a=5 a = 5
h = 19 h=19 h = 1 9

Просто подставляем данные величины в формулу для объема:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68.6 см 3 V=\frac{h\cdot a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{19\cdot 5^2}{4\sqrt{3}}\approx68.6\text{ см}^3 V = 4 3 ​ h ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ 1 9 ⋅ 5 2 ​ ≈ 6 8 . 6 см 3

Ответ

68.6 см 3 . 68.6\text{ см}^3. 6 8 . 6 см 3 .

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2 V = 3 1 ​ ⋅ h ⋅ a 2

H h h - высота пирамиды;
a a a - сторона основания пирамиды.

Задача 3

Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см 7\text{ см} 7 см , a сторона основания составляет – 2 см 2\text{ см} 2 см .

Решение

A = 2 a=2 a = 2
h = 7 h=7 h = 7

По формуле вычисляем:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9.3 см 3 V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot a^2=\frac{1}{3}\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text{ см}^3 V = 3 1 ​ ⋅ h ⋅ a 2 = 3 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 см 3

Ответ

9.3 см 3 . 9.3\text{ см}^3. 9 . 3 см 3 .

Формула объема тетраэдра

Объем тетраэдра

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12} V = 1 2 2 ​ ⋅ a 3 ​

A a a - длина ребра тетраэдра.

Задача 4

Длина ребра тетраэдра равна 13 см 13\text{ см} 1 3 см . Найдите его объем.

Решение

A = 13 a=13 a = 1 3

Подставляем a a a в формулу для объема тетраэдра:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 см 3 V=\frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}=\frac{\sqrt{2}\cdot 13^3}{12}\approx259\text{ см}^3 V = 1 2 2 ​ ⋅ a 3 ​ = 1 2 2 ​ ⋅ 1 3 3 ​ ≈ 2 5 9 см 3

Ответ

$259\text{см 3 .}$

Формула объема пирамиды как определитель

Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.

Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:

a ⃗ = (a x , a y , a z) \vec{a}=(a_x, a_y, a_z) a = (a x ​ , a y ​ , a z ​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec{b}=(b_x, b_y, b_z) b = (b x ​ , b y ​ , b z ​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec{c}=(c_x, c_y, c_z) c = (c x ​ , c y ​ , c z ​ ) ,

тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:

Объем пирамиды через определитель

$V=61\cdot |$

Задача 5

Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: a = (2 , 3 , 5 ) , b = (1 , 4 , 4 ) , c = (3 , 5 , 7 ) .

Решение

$a=(2,3,5)b\; ⃗\; =\; (1\; ,\; 4\; ,\; 4)\; \backslash vec\{b\}=(1,4,4)b=(1,4,4)c\; ⃗\; =\; (3\; ,\; 5\; ,\; 7)\; \backslash vec\{c\}=(3,5,7)c=(3,5,7)$

По формуле:

$V=61\cdot |$

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

$V=0.7\text{см 3}$

Ответ

$0.7\text{см 3 .}$

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока .

Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.

1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3

Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?

Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6

1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.

2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

3. Эта призма составлена из трех пирамид:

1) данной пирамиды SABC.

2) пирамиды SCC 1 B 1 .

3) и пирамиды SCBB 1 .

4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.

5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.

1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9

По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:

1) треугольник,

2) четырехугольник,

3) шестиугольник.

В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)

4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17

Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.

Тайна пирамид

Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...

Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.

Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.

Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...

Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.

В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.

Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.

Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.

Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.

В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.

Косметические крема и мази улучшают свое действие.

Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.

В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.

По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.

Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.

По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.

За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.

5. Подведение итогов урока.

Список используемой литературы.

1) http://schools.techno.ru

2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.

3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

• Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
• Площади боковых граней одинаковы;
• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
• Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a = 6 см. Боковая грань пирамиды равна b = 8 см. Найдите объем пирамиды.

Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:


Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h . Она будет равна:

Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:

Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.